最近在使用宋叶志[1]老师编著的《FORTRAN95/2003科学计算与工程》
在求解线性方程组时，通常的直接解法包括，高斯消去法，高斯选主元消去法，LU分解法等多种方法。
个人认为以高斯消去法的思想最朴素，也最容易被初学者所接受。该方法通过对增广矩阵实施消元变换，而在变换的过程中与原方程始终保持等价，直到矩阵变为上三角矩阵，再采用解三角方程组的方法进行回代，便得到原方程组的解。
然而，这种朴素的思想当中蕴涵着一个致命的缺憾，即如果方程的增广矩阵在消元的过程中出现0主元或者主元非常小的话，高斯消去法将失败或者数值不稳定。为了克服这一缺憾，发展出了高斯选主元消去法（包括列主元消去法，行主元消去法，全主元消去法三种）。下面给出列主元消去法的算法：
（1）设置增广矩阵A_{p}=\begin{bmatrix}A,b\end{bmatrix}。
（2）对K=1，N-1，做（3）---（6）处理。
（3）设置一个元素a_{max}=\left | A_{p}(k,k) \right |，及标号ID_{max}=k
（4）查找当列的最大元素，然后用标号ID_{max}记录下这个元素所在的行数。
（5）交换第k行与第ID_{max}行的所有数据，注意其他元素保持不变。
（6）完成（5）时已经完成了主元的选取，下面可以按照消去法进行计算。
（7）完成以上步骤之后，已经形成上三角矩阵。
（8）对上三角矩阵进行回代，即可得到方程的解。
下面我们再来重点看下计算过程中的第（4）步：查找当列的最大元素，这一说法到底应该怎么理解？是查找出来的元素最大，还是查找出来的元素的绝对值最大？笔者结合第（3）步中我们使用的初始比较值是\left | A_{p}(k,k) \right |，认为应该理解为查找出来的元素的绝对值最大，宋叶志老师书中给出的选取主元的程序是：
do k=1,N-1
elmax=dabs(Ab(k,k))
id_max=k
!这段为查找主元素
!这段程序的主要目的不是为了赋值最大元素给 elmax 而是为了找出最大元素对应的标号
do i=k+1,n
if (dabs(Ab(i,k))>elmax) then
elmax=Ab(i,k)
id_max=i
end if
end do
!至此，已经完成查找最大元素，查找完成以后与第k行交换
现在我们按照宋老师的程序来看下面的例子：假定第一列元素为\left [ 1,2,-5,1 \right ]^{-1}，（此时n=4）我们选取的a_{max}=\left | A_{p}(k,k) \right |=\left | A_{p}(1,1) \right |=1，此时k=1，elmax=1，当i=2时开始执行if比较：
第1次i=2，dabs(Ab(i,k))>elmax即2>1成立，此时：elmax=2，id_max=2。
第2次i=3，dabs(Ab(i,k))>elmax即5>2成立，此时：elmax=-5,id_max=3。
第3次i=4，dabs(Ab(i,k))>elmax即1>-5成立，此时：elmax=1,id_max=4。
第4次i=5，结束if判断。
从上面的执行情况来看，按照宋老师的程序，我们选出来的主元将会是1，而1既不是此列中的最大元素，也不是绝对值最大的元素，即选取主元失败。
分析原因不难发现失败的原因在于列中含有-5这个元素，它的存在使得程序选取出的主元既不是最大的，也非绝对值最大的。当然程序的修订也很简单，我们只需要将elmax=Ab(i,k)，修改为elmax=dabs（Ab(i,k)）即可。不难发现，修改之后程序即可正确选择出该列中的绝对值最大的元素-5。
参考文献
[1] 宋叶志, 茅永兴, 赵秀杰. Fortran95/2003科学计算与工程[M]. 北京:清华大学出版社, 2011. 12-16
